题目内容

(本小题满分14分)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,P为椭圆与抛物线的一个公共点,且|PF|=2,倾斜角为的直线过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.
(1)
(2)抛物线上存在一点,使得关于直线对称.

试题分析:(1)设P(x,y),因为|PF|=2,根据焦半径公式可求出x=1,代入抛物线方程可求点P的坐标.
再根据椭圆的定义:,求出a,已知c=1,从而可求出,故可得椭圆的方程.
(2)先求出直线的方程为,即,再求出椭圆的另一个焦点为,可根据点关于直线对称点的求法求出点F1关于直线l的对称点M的坐标,然后代入抛物线方程判定点M是否在抛物线上,从而得到结论.
(1)抛物线的焦点为,………………………1分
设P(x,y)则|PF|=,故x=1,y=…………………3分
∴        …………………5分
∴    …………………6分
∴  该椭圆的方程为     …………………7分
(2)∵ 倾斜角为的直线过点
∴ 直线的方程为,即,…………………8分
由(1)知椭圆的另一个焦点为,设关于直线对称,………9分
则得                    …………………10分
解得,即                    …………………11分
满足,故点在抛物线上.  …………………13分
所以抛物线上存在一点,使得关于直线对称.……………14分
点评:圆锥曲线的定义是重要的解题工具要引起足够重视,利用它解题很多时候起到化繁为简,另辟捷径的作用.解本小题的第二问要掌握点关于直线的对称点的求法.
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