题目内容
【题目】(本题满分16分)已知,
,
都是各项不为零的数列,且满足
,
,其中
是数列
的前
项和,
是公差为
的等差数列.
(1)若数列是常数列,
,
,求数列
的通项公式;
(2)若(
是不为零的常数),求证:数列
是等差数列;
(3)若(
为常数,
),
,求证:对任意的
,数列
单调递减.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)详见解析;
【解析】
试题(1)由已知条件可化得数列的前
和,再作差求得通项,要注意分类讨论;(2)与(1)的思路相同,利用和作差,得到项之间的关系式,进而表示出数列
的通项,利用等差数列的定义进行证明,还应注意补充说明
;(3)由(2)中和作差后的通项间的关系式可推得
与
的关系式,则证得从第2项起
成等比数列,求得其通项公式,同时也求得数列
从第二项起是等差数列,所以从第2项起
为差比数列,通过作差或作商可以研究它的单调性;
试题解析:(1)因为,
,所以
,
因为数列是各项不为零的常数列,所以
,
,
则由及
得
,
当时,
,两式相减得
,
当时,
,也满足
,故
.
(2)因为,
当时,
,两式相减得
,
即,
,即
,
又,所以
,
即,
所以当时,
,两式相减得
,
所以数列从第二项起是公差为
等差数列;
又当时,由
得
,
当时,由
得
,
故数列是公差为
等差数列.
(3)由(2)得当时,
,即
,
因为,所以
,即
,所以
,即
,
所以,
当时,
,两式相减得
,
即,故从第二项起数列
是等比数列,
所以当时,
,
,
另外由已知条件得,又
,
,
,
所以,因而
,令
,则
,
因为,所以
,所以对任意的
,数列
单调递减.
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