题目内容
【题目】已知椭圆C：
的离心率为
，过焦点且与
轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点
，
，过点
的任意一条直线
与椭圆交于
，
两点，求证：
.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）根据过焦点且与
轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为
，得到
，根据离心率得到
，结合
，得到
，
的值，从而得到椭圆方程；
（2）将问题转化为证明证明
，易得直线
的斜率不存在时结论成立，直线的斜率存在时，直线的方程为
，与椭圆联立，得到
，
，表示出
，
，再进行计算，得到，从而证明.
（1）因为
，令
，得
，
因为过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，
所以，
根据离心率为
，得，
结合，
解得
，
，
所以椭圆的方程为.
（2）要证明
，只需证明
，
过
，
分别作轴的垂线段
，
，易得：
，
所以只需证明
，
所以只需证明
，只需证明.
当直线的斜率不存在时，易得.
当直线的斜率存在时，不妨设其为
，则直线的方程为，
联立
消去y，得
，
设
，
，则
，
，
直线
的斜率
，直线
的斜率
，
.
综上所述，.
名校课堂系列答案【题目】近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.
（1）根据已知条件完成下面的
列联表，并回答能否有
的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?
对服务满意 | 对服务不满意 | 合计 | |
对商品满意 | 80 | ||
对商品不满意 | 10 | ||
合计 | 200 |
（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量
，求的分布列和数学期望
.
临界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.897 | 10.828 |
的观测值：
（其中
）.
