Question

20．已知函数f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+$\frac{（a+b+c）^{2}}{3}$（a，b，c为实数）
①求f（x）的最小值m（用a，b，c表示）；
②若a-b+2c=3，求（1）中m的最小值．

Answer 1

分析 ①由f（x）=3${（x-\frac{a+b+c}{3}）}^{2}$+a²+b²+c²，从而求出函数f（x）的最小值；②由（a²+b²+c²）[1²+（-1）²+2²]≥（a-b+2c）²，求出m的最小值即可．

解答 解：①f（x）=3x²-（2a+2b+2c）x+a²+b²+c²+$\frac{{（a+b+c）}^{2}}{3}$
=3${（x-\frac{a+b+c}{3}）}^{2}$+a²+b²+c²
故当x=$\frac{a+b+c}{3}$时，m=f（x）_min=a²+b²+c²，
②（a²+b²+c²）[1²+（-1）²+2²]≥（a-b+2c）²，
即6m≥9，∴m得最小值为$\frac{3}{2}$，
当且仅当a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$，c=1时取等号．

点评 本题考查了基本不等式的性质的应用，考查不等式的变形，是一道基础题．