题目内容
【题目】已知.
(I)若,判断函数
在
的单调性;
(II)设,对
,有
恒成立,求
的最小值;
(III)证明:.
【答案】(I)在
单调递增;(II)2;(III)证明见解析.
【解析】
(1),函数
,
.
.根据
,可得
,而
.即可得出单调性.
(2)由题意知,,对
,
,有
恒成立.
,设
,由
,可得
时,
单调递增,又
,
,因此
在
内存在唯一零点
,使
,即
,利用其单调性可得:
,故
,设
,
.利用导数研究其单调性即可得出所求
的最小值.
(3)由可知
时,
(1)
,即:
.设
,可得
,可得
,求和利用对数的运算性质即可得出.
解:(1),函数
,
.
.
又,
,而
.
,
故在
上单调递增.
(2)由题意知,,对
,
,有
恒成立.
,
设,则
,
由于,故
,
时,
单调递增,又
,
,
因此在
内存在唯一零点
,使
,即
,
且当,
,
,
单调递减;
,
,
,
,
单调递增.
故,
故,
设,
.
,
又设,
,
故在
上单调递增,因此
,即
,
在
上单调递增,
,
,又
,
,
故所求的最小值为2.
(3)由(1)可知时,
,即:
设,则
因此
即
,
得证.
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