题目内容

【题目】已知函数

1)求函数的极小值;

2)设函数,讨论函数在上的零点的个数;

3)若存在实数,使得对任意,不等式恒成立,求正整数的最大值.

【答案】(1);(2)分类讨论,详见解析;(3)4.

【解析】

(1)求导后,利用导数可求得极小值;

(2)转化为讨论上的解的个数,再利用导数可解决;

(3) 转化为对任意的,不等式恒成立后,构造函数利用导数可解得,

1.

,得;令,得(或列表求)

∴函数单调减,在单调增,在上单调减,

∴函数处取得极小值

2

,∴

,则,令,则.

上单调减,在上单调增,且.

∴当时,1解,

上的零点的个数为1个;

时,2解,即上的零点的个数为2个;

时,0解,即上的零点的个数为0个.

3)∵,存在实数,使对任意的,不等式恒成立,∴存在实数,使对任意的,不等式恒成立.

,∴对任意的,不等式恒成立.

即对任意的,不等式恒成立.

,可求得上单调增,在上单调减,在上单调增,

上单调减,在上单调增,

时,上递减,所以恒成立;

时,上递减,上递增,所以,因为 ,而;所以上不恒成立,

∴正整数的最大值为4

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