题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求函数的极小值;
(2)设函数,讨论函数在
上的零点的个数;
(3)若存在实数,使得对任意
,不等式
恒成立,求正整数
的最大值.
【答案】(1);(2)分类讨论,详见解析;(3)4.
【解析】
(1)求导后,利用导数可求得极小值;
(2)转化为讨论在
上的解的个数,再利用导数可解决;
(3) 转化为对任意的,不等式
恒成立后,构造函数利用导数可解得,
(1),
.
则,
令,得
;令
,得
或
(或列表求)
∴函数在
单调减,在
单调增,在
上单调减,
∴函数在
处取得极小值
;
(2),
∵,∴
,
设,则
,令
,则
.
∴在
上单调减,在
上单调增,且
,
,
,
.
∴当或
时,
有1解,
即在
上的零点的个数为1个;
当时,
有2解,即
在
上的零点的个数为2个;
当时,
有0解,即
在
上的零点的个数为0个.
(3)∵,存在实数
,使对任意的
,不等式
恒成立,∴存在实数
,使对任意的
,不等式
恒成立.
∵,∴对任意的
,不等式
恒成立.
即对任意的,不等式
恒成立.
设,
,
∴,可求得
在
上单调增,在
上单调减,在
上单调增,
则在
上单调减,在
上单调增,
当时,
在
上递减,所以
恒成立;
当时,
在
上递减,在
上递增,所以
,因为
,
,而
;所以
在
上不恒成立,
∴正整数的最大值为4.
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