题目内容
【题目】已知椭圆的左右两焦点分别为
、
.
(1)若矩形的边
在
轴上,点
、
均在
上,求该矩形绕
轴旋转一周所得圆柱侧面积
的取值范围;
(2)设斜率为的直线
与
交于
、
两点,线段
的中点为
(
),求证:
;
(3)过上一动点
作直线
,其中
,过
作直线
的垂线交
轴于点
,问是否存在实数
,使得
恒成立,若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)1.
【解析】
(1)设D(x,y),由D在椭圆上,可得|xy|
,再由矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S侧=2π|BC||AB|=4π|xy|求解;
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),利用点差法可得k,再由M(1,m)在椭圆内部,得m2
,即0<m
,由此证明结论;
(3)直线的斜率为
,则
,求出
,
,再由到角公式可得ER为∠F1EF2的角分线,得到
,即|EF1||RF2|=λ|EF2||RF1|,可知存在实数λ=1,使得|EF1||RF2|=λ|EF2||RF1|恒成立.
(1)解:设D(x,y),由D在椭圆上,
得1,得|xy|
,
当且仅当,即
,
时取“=”.
矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S侧=2π|BC|AB|=4π|xy|,
∴S侧=4π|xy|≤4π;
(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则,
,
两式作差可得:k,
由M(1,m)在椭圆内部,得,即m2
,
又m>0,∴0<m,得k
;
(3)解:直线的斜率为
,则
,
又,
,
设直线EF1到直线ER的角为α,直线ER到直线EF2的角为β,
则tanα,
tanβ.
∴tanα=tanβ,则α=β,即ER为∠F1EF2的角分线,
∴,即|EF1||RF2|=λ|EF2||RF1|,
∴存在实数λ=1,使得|EF1||RF2|=λ|EF2||RF1|恒成立.
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