题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的极值点的个数;
(2)若方程在
上有且只有一个实根,求
的取值范围.
【答案】(1) 时,
有一个极值点;当
时,
有两个极值点.
(2) 或
或
【解析】
(1)对求导,讨论
的解是否在
,在
时判断解左右的导数符号,确定极值点的个数.
(2)利用(1)所求,对a讨论,研究函数的单调性及极值,应用零点存在定理判断何时方程
在
上有且只有一个实根.
(1)的定义域为
,
.
由得
或
.
当时,由
得
,由
得
,
∴在
上单调递增,
在上单调递减,
在
处取得极小值,无极大值;
当,即
时,由
得
,或
,
由得
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
在
处取得极小值,在
处取得极大值.
综上,当时,
有一个极值点;当
时,
有两个极值点.
(2)当时,设
,
则在
上有且只有一个零点.
显然函数与
的单调性是一致的.
①当时,由(1)知函数
在区间
上递减,
上递增,
所以在
上的最小值为
,
由于,要使
在
上有且只有一个零点,
需满足或
,解得
或
.
②当时,因为函数
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
∵,∴当
时,总有
.
∵,
∴,又
∴在
上必有零点.
∵在
上单调递增,
∴当时,
在
上有且只有一个零点.
综上,当或
或
时,方程
在
上有且只有一个实根.
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