题目内容
【题目】已知函数,
是实数.
(1)若函数是定义在
上的奇函数,求
的值,并求方程
的解;
(2)若对任意的
恒成立,求
的取值范围;
(3)若,方程
有解,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
;
(2);
(3)或
;
【解析】
(1)可根据奇函数性质,也可根据特殊点
求
,再进行验证即可;令
结合一元二次方程的解法即可求解;
(2)可采用分离常数法得对任意的
恒成立,令
,
,令
,则
,结合二次函数性质即可求解;
(3)时,
,
化简得
,采用构造函数法,令
,转化为方程
在
上有解,再结合二次函数对称轴与增减性进一步求解即可
(1)方法一:因为函数是定义在
上的奇函数,
所以对任意
恒成立,
即对任意
恒成立,
整理得对任意
恒成立,
所以.
方法二:因为函数是定义在
上的奇函数,所以
,解得
检验:当时,
,
此时,
所以
此时.
因为,即
,整理得
解得或
(舍).
所以.
(2)因为对任意的
恒成立,
所以,即
对任意的
恒成立.
令,则
,
令,所以
在
上单调递增,
所以
所以,所以
.
(3)当时,
,因为
,
所以.
令,则
,
转化为方程在
上有解.
令,
①当时,
在
为增函数
所以,得
.
②当时,需
,
即,解得
,
所以或
.
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