Question

11．已知函数f（x-3）=log_a$\frac{x}{6-x}$（a＞0）
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．
（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的解析式，利用定义判断f（x）的奇偶性；
（2）根据复合函数的单调性，判断f（x）是定义域上的减函数．

解答 解：（1）∵函数f（x-3）=log_a$\frac{x}{6-x}$=log_a$\frac{x-3+3}{6-（x-3）-3}$=log_a$\frac{（x-3）+3}{3-（x-3）}$（a＞0），
∴f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$，令$\frac{3+x}{3-x}$＞0，解得-3＜x＜3；
∴x∈（-3，3），
∴f（-x）=log_a$\frac{3-x}{3+x}$=-log_a$\frac{3+x}{3-x}$=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；
（2）∵f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$=log_a$\frac{（x-3）+6}{3-x}$=log_a（-1+$\frac{6}{3-x}$），
且y=$\frac{6}{3-x}$在定义域（-3，3）上是单调增函数，
∴当0＜a＜1时，f（x）=log_a（-1+$\frac{6}{3-x}$）在定义域（-3，3）上是单调减函数，
即函数f（x）在定义域（-3，3）上是单调减函数．

点评 本题考查了判断函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了求函数解析式的应用问题，是综合性题目．