Question

19．（文科）已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_2n-1•a_2n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过n=1，2，3，4，计算可得a₃，a₄，a₅，a₆的值，讨论n为奇数和偶数，由等差数列和等比数列的通项即可得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出b_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，运用错位相减法，即可得到数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，
则2a₃-2a₁-4=0，解得a₃=3，
4a₄-2a₂=0，解得a₄=$\frac{1}{4}$，
2a₅-2a₃-4=0，解得a₅=5，
4a₆-2a₄=0，解得a₆=$\frac{1}{8}$，
当n为奇数时，a_n+2=a_n+2，a_n=n；
当n为偶数时，a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n，a_n=$（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}$．
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由于2n-1为奇数，则a_2n-1=2n-1，
由于2n为偶数，则a_2n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
因此，b_n=a_2n-1•a_2n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减得$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得，S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查错位相减法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．