Question

14．已知f（x）=e^x-x，求过原点与f（x）相切的直线方程y=（e-1）x．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式设出切点的坐标，根据设出的切点坐标和原点求出切线的斜率，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，进而得到切点坐标，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．

解答 解：设切点坐标为（a，e^a-a），又切线过（0，0），得到切线的斜率k=$\frac{{e}^{a}-a}{a}$，
又f′（x）=e^x-1，把x=a代入得：斜率k=f′（a）=e^a-1，则e^a-1=$\frac{{e}^{a}-a}{a}$，由于e^a＞0，则得到a=1，
即切点坐标为（1，e-1），
所以切线方程为：y-e+1=（e-1）（x-1）．即y=（e-1）x．
故答案为：y=（e-1）x

点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，注意要区别在某点处的切线，解题的关键是确定切点，本题是一道中档题．