Question

5．函数y=$\frac{3+x+{x}^{2}}{1+x}$（x＞0）的最小值是2$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 利用凑配法和换元法，将函数的解析式化为对勾函数的形式，结合对勾函数的图象和性质，得到答案．

解答 解：函数y=$\frac{3+x+{x}^{2}}{1+x}$=$\frac{（x+1）^{2}-（x+1）+3}{x+1}$=x+1+$\frac{3}{x+1}$-1，
令t=x+1，t＞1，
则y=t+$\frac{3}{t}$-1，
由y=t+$\frac{3}{t}$-1在（1，$\sqrt{3}$]上为减函数，在[$\sqrt{3}$，+∞）上为增函数，
故当t=$\sqrt{3}$时，函数取最小值2$\sqrt{3}$-1，
故答案为：2$\sqrt{3}$-1

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中利用凑配法和换元法，将函数的解析式化为对勾函数的形式，是解答的关键．