Question

【题目】已知函数，其最小正周期为.

（1）求的表达式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用函数的最小正周期可求得的值，由此可得出函数的解析式；

（2）利用三角函数图象变换可得，由可计算出的取值范围，由可得，可得出直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点，数形结合可求得实数的取值范围.

（1）

，

又因为函数的最小正周期，所以，所以，

所以；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象.再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，所以，

当时，，

令，可得，令，可知直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点，如下图所示：

由图象可知，当或时，

直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点.

所以实数的取值范围是.