Question

3．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y≥0}\\{2x-y-2≥0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{x+y}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{4}{3}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，2）
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化z=$\frac{x+y}{x+1}$=1+$\frac{y-1}{x+1}$，由其几何意义（动点与定点连线的斜率）得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y≥0}\\{2x-y-2≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
A（1，0）．
z=$\frac{x+y}{x+1}$=$\frac{x+1+y-1}{x+1}=1+\frac{y-1}{x+1}$，
$\frac{y-1}{x+1}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（-1，1）连线的斜率，
∵${k}_{PA}=\frac{0-1}{1-（-1）}=-\frac{1}{2}$．
∴z的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．