已知f1(x)=|3x-1|.f2(x)=|a•3x-9|=$\left\{\begin{array}{l}{{f} {1}≤{f} {2}\\;{f} {1}}\end{array}\right.$．(1)当a=1时.解不等式:f1(x)≤f2(x),=f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m.n]的长度定义为n-m).试求l的最大值,(3)是否存在这样� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{1}（x）\\;{f}_{1}（x）≤{f}_{2}（x）}\\{{f}_{2}（x）\\;{f}_{1}（x）＞{f}_{2}（x）}\end{array}\right.$．
（1）当a=1时，解不等式：f₁（x）≤f₂（x）；
（2）当2≤a＜9时，设f（x）=f₂（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值；
（3）是否存在这样的a，使得当x∈[2，+∞）上，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析（1）当a=1时，f₂（x）=|3^x-9|，利用平方法，可将f₁（x）≤f₂（x）化为（3^x-1）²≤（3^x-9）²，解指数不等式，得到答案；
（2）本问中借鉴上问（1）的解题思想，由具体到一般，方法依然是针对a的范围条件，作差比较出f₁（x）与f₂（x）的大小，在2≤a＜9时，自变量x取哪些值时f（x）=f₂（x），进而确定求出f（x）的解析式，对参数的讨论要结合具体的数值，从直观到抽象采取分类策略．
（3）本问利用（2）的结论容易求解，需要注意的是等价转化思想的应用，分类讨论思想重新在本问中的体现．

解答解：（1）当a=1时，f₂（x）=|3^x-9|．
若f₁（x）≤f₂（x），
则|3^x-1|≤|3^x-9|，
即（3^x-1）²≤（3^x-9）²，
即3^x≤5，
解得：x≤log₃5（5分）
（2）因为2≤a＜9，所以0＜log₃$\frac{9}{a}$≤log₃$\frac{9}{2}$，则
①当x≥log₃$\frac{9}{a}$时，
因为a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（3^x-1）=（a-1）3^x-8≤0，
解得x≤log₃$\frac{8}{a-1}$，
从而当log₃$\frac{9}{a}$≤x≤log₃$\frac{8}{a-1}$时，f（x）=f₂（x）（6分）
②当0≤x＜log₃$\frac{9}{a}$时，
因为a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0，
解得x≥log₃$\frac{10}{a+1}$，
从而当log₃$\frac{10}{a+1}$≤x＜log₃$\frac{9}{a}$时，f（x）=f₂（x）（7分）
③当x＜0时，
因为f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，
从而f（x）=f₂（x）一定不成立（8分）
综上得，当且仅当x∈[log₃$\frac{10}{a+1}$，log₃$\frac{8}{a-1}$]时，f（x）=f₂（x），
故l=log₃$\frac{8}{a-1}$-log₃$\frac{10}{a+1}$=log₃[$\frac{4}{5}$（1+$\frac{2}{a-1}$）]（9分）
从而当a=2时，l取得最大值为log₃$\frac{12}{5}$（10分）
（2）“当x∈[2，+∞）时，f（x）=f₂（x）”等价于“f₂（x）≤f₁（x）对x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3^x-9|≤|3^x-1|=3^x-1（*）对x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①当a≥1时，log₃$\frac{9}{a}$≤2，
则当x≥2时，a•3x-9≥a•3log₃$\frac{9}{a}$-9=0，
则（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+$\frac{8}{3x}$，
而当x≥2时，1+$\frac{8}{3x}$＞1，
所以a≤1，从而a=1适合题意（12分）
②当0＜a＜1时，log₃$\frac{9}{a}$＞2．
（1）当x＞log₃$\frac{9}{a}$时，（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+$\frac{8}{3x}$，而1+$\frac{8}{3x}$＞1，
所以a≤1，此时要求0＜a＜1（（13分）
（2）当x=log₃$\frac{9}{a}$时，（*）可化为0≤3x-1=$\frac{9}{a}$-1，
此时只要求0＜a＜9（14分）
（3）当2≤x＜log₃$\frac{9}{a}$时，（*）可化为9-a•3^x≤3^x-1，即a≥$\frac{10}{3x}$-1，而$\frac{10}{3x}$-1≤$\frac{1}{9}$，
所以a≥$\frac{1}{9}$，此时要求$\frac{1}{9}$≤a＜1（15分）
由（1）（2）（3），得$\frac{1}{9}$≤a＜1符合题意要求．
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是$\frac{1}{9}$≤a≤1（16分）

点评本题考查分段函数的有关概念，函数求值的问题；对函数的导数的概念亦有所考查，含参数的数学问题的讨论，注重对分类讨论思想，数形结合思想的考查，考查了对近年来高考真题中出现的有关恒成立问题，存在性问题的求解策略，对函数知识的综合性解题能力有很高的要求，属于压轴题的题目难度．本题的求解策略是细读题意，精确分析采取有难到易，各点击破的思想，同时注意解题思想的应用．