Question

6．已知△ABC的三边a，b，c满足$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$，则角B=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 化简所给的条件求得b²=a²+c²-ac，利用余弦定理求得cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$ 的值，可得B的值．

解答 解：△ABC的三边a，b，c满足$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$，
∴$\frac{a+b+c}{a+b}$+$\frac{a+b+c}{b+c}$=3，∴$\frac{c}{a+b}$+$\frac{a}{b+c}$=1，∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），
即 b²=a²+c²-ac，∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，式子的变形是解题的难点，属于中档题．