题目内容
【题目】已知椭圆的焦距为
分别为椭圆
的左、右顶点,
为椭圆
上的两点(异于
),连结
,且
斜率是
斜率的
倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:直线恒过定点.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据题意列出方程组,解出方程组即可得椭圆方程;(2)连结
设
,由椭圆的性质可得出
,故而可得
,当
斜率不存在时,设
,解出
,当直线斜率存在时,设
,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理,可得出
,得出
与
的关系,代入直线方程即可得定点.
(1)因为,所以
,即椭圆
的方程为
(2)连结设
则
因为点在椭圆上,所以
因为,所以
当斜率不存在时,设
,不妨设
在
轴上方,
因为,所以
(ii)当斜率存在时,设
,
即,所以
因为
所以,即
或
当时,
,恒过定点
,当斜率不存在亦符合:当
,
,过点
与点
重合,舍去.
所以直线恒过定点
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