题目内容
【题目】设抛物线
的焦点为
，过点作垂直于
轴的直线与抛物线交于
，
两点，且以线段
为直径的圆过点
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线
与抛物线交于
，
两点，点
为曲线
:
上的动点，求
面积的最小值.
【答案】(1) 
；(2) 
.
【解析】
（1）由于
与
轴垂直，因此
就是圆心，的长是抛物线的通径长
，从而易求得
；
（2）点
，
，把直线
方程与抛物线方程联立，消去
得的一元二次方程，由韦达定理得
，从而可得
，设动点
，求出
到直线的距离，利用基本不等式可求得它的最小值，从而得三角形面积的最小值．
(1)由题意得，圆的半径
，解得：
故抛物线的方程为.
(2)设点，，由直线过抛物线的焦点
，
联立
得
，
故
，所以
由点为曲线
上的动点，设点，点到直线的距离
，
由
，故
当且仅当
，即
时，取等号，所以
，
∴
，
故
面积的最小值为.
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