题目内容
【题目】设抛物线的焦点为
,过点
作垂直于
轴的直线与抛物线交于
,
两点,且以线段
为直径的圆过点
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与抛物线
交于
,
两点,点
为曲线
:
上的动点,求
面积的最小值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】
(1)由于与
轴垂直,因此
就是圆心,
的长是抛物线的通径长
,从而易求得
;
(2)点,
,把直线
方程与抛物线方程联立,消去
得
的一元二次方程,由韦达定理得
,从而可得
,设动点
,求出
到直线
的距离,利用基本不等式可求得它的最小值,从而得三角形面积的最小值.
(1)由题意得,圆的半径,解得:
故抛物线的方程为.
(2)设点,
,由直线
过抛物线的焦点
,
联立得
,
故,所以
由点为曲线
上的动点,设点
,点
到直线
的距离
,
由,故
当且仅当,即
时,取等号,所以
,
∴,
故面积的最小值为
.
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