Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过右焦点与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点．在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，

请说明理由；

（3）设点在椭圆上运动，，且点到直线的距离等于，试求动点的轨

迹方程．

Answer 1

【答案】(1) .

(2).

(3) .

【解析】

分析：（1）椭圆方程可设为，利用两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，即可求得椭圆方程；
（2）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以可设直线的方程为，，与椭圆方程联立，再利用韦达定理．根据以为邻边的平行四边形是菱形等价于得 ，即 ，，由此可确定的取值范围．

（3）设，由得 ①

又点在椭圆上，得 ②

联立①、②得 ，根据点到直线的距离等于，由此能求出D点轨迹方程．

详解：

（1，由题意得，

所以，

因此所求椭圆方程为．

（2）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．

因为直线与轴不垂直，所以可设直线的方程为，坐标分别为

．

由 得 ．

由一元二次方程根与系数的关系得 ．

由于，其中，

由得 ，即 ，

因此．

（3）设，由得 ①

又点在椭圆上，得 ②

联立①、②得 ③

由，得，

两边平方得 ，则得．

即 ．

将③代入上式得 ，

化简，得点的轨迹方程是 ．