题目内容
【题目】已知圆经过
,
,
三点.
(1)求圆的标准方程;
(2)若过点N 的直线
被圆
截得的弦AB的长为
,求直线
的倾斜角.
【答案】(1) (2) 30°或90°.
【解析】
(1)解法一:将圆的方程设为一般式,将题干三个点代入圆的方程,解出相应的参数值,即可得出圆的一般方程,再化为标准方程;
解法二:求出线段和
的中垂线方程,将两中垂线方程联立求出交点坐标,即为圆心坐标,然后计算
为圆的半径,即可写出圆
的标准方程;
(2)先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为
,并对直线
的斜率是否存在进行分类讨论:一是直线
的斜率不存在,得出直线
的方程为
,验算圆心到该直线的距离为
;
二是当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,并表示为一般式,利用圆心到直线的距离为
得出关于
的方程,求出
的值。结合前面两种情况求出直线
的倾斜角。
(1)解法一:设圆的方程为
,
则 ∴
即圆为
,
∴圆的标准方程为
;
解法二:则中垂线为
,
中垂线为
,
∴圆心满足
∴
,
半径,
∴圆的标准方程为
.
(2)①当斜率不存在时,即直线到圆心的距离为1,也满足题意,
此时直线的倾斜角为90°,
②当斜率存在时,设直线的方程为
,
由弦长为4,可得圆心 到直线
的距离为
,
,
∴,此时直线
的倾斜角为30°,
综上所述,直线的倾斜角为30°或90°.
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