Question

【题目】设函数．

（1）请指出函数的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）

（2）请以正弦函数的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明：在区间上单调递减．

Answer 1

【答案】（1）,,奇函数；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意利用函数的定义域、奇偶性、周期性的定义，结合正弦函数的性质，得出结论．（2）以正弦函数y＝sinx的单调性为依据，并运用函数的单调性定义，证得结论．

（1）∵函数，∴sinx≠0，∴x≠kπ，k∈Z，

故函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．

显然，f（x）的周期，即y＝sinx的周期为2π．

由于满足，故f（x）为奇函数．

（2）证明：正弦函数y＝sinx在区间上单调递增，

设0＜x1＜x2＜，则0＜sinx1＜sinx2＜1，

∴，即 f（x1）＞f（x2），

故y＝f（x）在区间上单调递减．