题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线上的点到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)如图,点是抛物线上异于原点的点,抛物线在点处的切线与轴相交于点,直线与抛物线相交于两点,求面积的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)求出抛物线的准线方程为,由抛物线定义,得到,即可求解抛物线的方程.
(2)求出函数的.设点,得到抛物线在点处的切线方程为.求出.推出直线的方程,点到直线的距离,联立求出,表示出的面积,构造函数,通过函数的导数利用单调性求解最值即可.
(1)抛物线的准线方程为,
因为,由抛物线定义,知,
所以,即,
所以抛物线的方程为.
(2)因为,所以.
设点,则抛物线在点处的切线方程为.
令,则,即点.
因为所以直线PF的方程为,即.
则点到直线的距离为.
联立方程消元,得.
因为,
所以,
所以.
所以的面积为.
不妨设,则.
当时,,所以在上单调递减;
当上,,所以在上单调递增,
所以当时,.
所以的面积的最小值为.
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