题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,曲线参数方程为为参数),将曲线上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的,得到曲线.

1)求曲线的普通方程;

2)过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点,求取得最小值时的值.

【答案】(1) ;(2)

【解析】

1)利用消去参数,求得曲线的直角坐标方程.根据坐标变换的知识求得的普通方程.

2)设出直线的参数方程,代入的方程并写出根与系数关系,求得弦长的表达式,并利用三角函数最值的求法求得取得最小值时的值.

1)将曲线参数方程为参数)的参数消去,得到直角坐标方程为,设上任意一点为,经过伸缩变换后的坐标为,由题意得:

,故

2)过点倾斜角为的直线的参数方程为:为参数),带入的方程得:

对于的参数分别为

故当时,.

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