题目内容

【题目】已知函数,(其中,为自然对数的底数).

(1)讨论函数的单调性;

(2)若分别是的极大值点和极小值点,且,求证:.

【答案】(1)见解析;(2)证明见解析

【解析】

(1)讨论三种情况,分别计算得到答案.

(2)根据题意知等价于,设

,计算得到使,计算得到

得到证明.

(1)当时,

的单调递增区间是,单调递减区间是

时,

时,由解得;由解得的单调递增区间是,单调递减区间是

时,由解得;由解得的单调递增区间是,单调递减区间是

综上所述:

时,单调递增区间是,单调递减区间是

时,单调递增区间是,单调递减区间是

时,单调递增区间是,单调递减区间是

(2)由已知和(1)得,当时满足题意,此时

,则.

恒成立,

上单调递增,

使,即

从而当时, 单调递减,当时, 单调递增,

上单调递减

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