题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=
．
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）若D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1．
| 3 |
| 5 |
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）若D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1．
证明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，
cos∠BAC=
，
∴BC2=AB2+AC2-2AB•AC•
cos∠BAC=25+9-2×5×3×
=16．
∴BC=4，∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥CC1，AC∩CC1=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵AC1?平面ACC1A1，
∴BC⊥AC1．
（2）连接BC1交B1C于M，则M为BC1的中点，
连接DM，则DM∥AC1，
∵DM?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
cos∠BAC=
| 3 |
| 5 |
∴BC2=AB2+AC2-2AB•AC•
cos∠BAC=25+9-2×5×3×
| 3 |
| 5 |
∴BC=4，∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥CC1，AC∩CC1=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵AC1?平面ACC1A1，
∴BC⊥AC1．
（2）连接BC1交B1C于M，则M为BC1的中点，
连接DM，则DM∥AC1，
∵DM?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
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