Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（I）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；
（Ⅲ）探究：不论点E在侧棱PA的任何位置，BD⊥CE是否都成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴V_P-ABCD=

1

3

SABCD•PA=

1

3

×12×2=

2

3

…3分
即四棱锥P-ABCD的体积为

2

3

．…4分
（2）证明：连接AC交BD于O，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴PC∥OE．…6分
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE．…8分
（3）不论点E在何位置，BD⊥CE成立．…9分
证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．
又∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．…10分
∵不论点E在何位置，都有CE?平面PAC．
∴不论点点E在何位置，BD⊥CE成立．…12分．