题目内容

如图：已知四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E，F分别是线段PB，AD的中点
（1）求证：FE∥平面PCD；
（2）求异面直线DE与AB所成的角的余弦值．
（1）证明：取PC的中点G，连接EG，GD，则EG∥
1
2
BC，且EG=
1
2
BC
∴GE∥DF且GE=DF．
∴四边形EFGD是平行四边形．
∴EF∥GD，
又EF?平面PDC，DG?平面PDC，
∴EF∥平面PDC；
（2）∵CD∥AB
∴∠EDC或其补角为异面直线DE与AB所成的角
设PD=AD=1，则△DEC中，DE=EC=
3
2
，DC=1
∴cos∠EDC=
DE2+DC2-EC2
2DE•DC
=
3
3
．
练习册系列答案
相关题目
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O．求证：
（1）直线OE∥平面PBC；
（2）平面ACE⊥平面PBD．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求证：BC⊥AA1．
（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥平面AB1M．
如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥底面ABCD．
（1）求证：AQ∥平面CEP；
（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP；
（3）若EP=AP=1，求三棱锥E-AQC的体积．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B-CDP的体积．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=
3
5
．
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）若D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1．
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=
1
2
AD，PA=PD，E，F为AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：AD⊥PB．
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2
3
，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=
π
3
．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积．

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