题目内容
(本小题满分14分)已知、是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,点在椭圆上,线段与轴的交点满足;⊙O是以F1F2为直径的圆,一直线l:与⊙O相切,并与椭圆交于不同的两点A、B.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当且满足时,求△AOB面积S的取值范围.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当且满足时,求△AOB面积S的取值范围.
(1);(2).
第一问中利用,以及⊙O是以F1F2为直径的圆,可知,得到a,bc的值,得到椭圆的方程
第二问中,利用,直线与圆相切,则可知圆心到直线的距离为1,然后得到
,直线方程与椭圆联立方程组,结合韦达定理和向量的数量积公式得到结论。
解:(Ⅰ) 点M是线段的中点 OM是的中位线
又 解得
椭圆的标准方程为 ………………………6分
(Ⅱ)圆O与直线l相切 即:,由
消去y: 设
,
,……………10分
设, 则关于在上单调
递增,且
故△AOB面积S的取值范围是 …………………………………………14分
第二问中,利用,直线与圆相切,则可知圆心到直线的距离为1,然后得到
,直线方程与椭圆联立方程组,结合韦达定理和向量的数量积公式得到结论。
解:(Ⅰ) 点M是线段的中点 OM是的中位线
又 解得
椭圆的标准方程为 ………………………6分
(Ⅱ)圆O与直线l相切 即:,由
消去y: 设
,
,……………10分
设, 则关于在上单调
递增,且
故△AOB面积S的取值范围是 …………………………………………14分
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