Question

【题目】已知函数．

（1）求在上的最小值；

（2）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）对函数求导，由于不能因式分解，但是能观察出零点，进一步求二阶导可知导函数单调，所以导函数只有唯一零。（2）由，所以方程 有两个不同的实根 ，通过韦达定理把待证不等式消去，再分离参数t，可解。

试题解析：（Ⅰ） ，

, ∴

∴在单调递增，又

∴， 在单调递减

， 在单调递增

∴

（Ⅱ），

根据题意，方程 有两个不同的实根 ，

所以，且 ， ， ．

由

可得，又 ，

所以上式化为对任意的恒成立．

（I）当 时，不等式恒成立， ；

（II）当 时， 恒成立，即．

令函数，显然， 是 上的增函数，

所以当 时， ，

所以 ．

（III）当 时， 恒成立，即．

由（II），当 时， ，所以 ．

综上所述