Question

7．已知函数$f（x）=\sqrt{-{x^2}+4x+5}$，求其单调递增区间．

Answer 1

分析 $f（x）=\sqrt{-{x}^{2}+4x+5}$可看作是由y=$\sqrt{t}$，t=-x²+4x+5复合而成的，因为y=$\sqrt{t}$单调递增，由复合函数的单调性的判定知只需在定义域内求出t=-x²+4x+5的增区间即可

解答 解：由-x²+4x+5≥0，解得-1≤x≤5．
所以函数f（x）的定义域为[-1，5]．
$f（x）=\sqrt{-{x}^{2}+4x+5}$可看作是由y=$\sqrt{t}$，t=-x²+4x+5复合而成的，
y=$\sqrt{t}$的单调递增区间为[0，+∞），t=-x²+4x+5=-（x-2）²+9的单调递增区间是[-1，2]，
由复合函数单调性的判定方法知，
函数f（x）的单调递增区间为[-1，2]．

点评 本题考查复合函数单调性、幂函数及二次函数单调性问题，属基础题．