题目内容
已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取得极大值2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意x2∈[-1,1],总存在x1∈R,使得g(x2)≤f(x1),求实数a的取值范围.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意x2∈[-1,1],总存在x1∈R,使得g(x2)≤f(x1),求实数a的取值范围.
(1)f(x)=
(2)当x=-1时,函数f(x)有极小值-2;当x=1时,函数f(x)有极大值2;
(3)a的取值范围为
(2)当x=-1时,函数f(x)有极小值-2;当x=1时,函数f(x)有极大值2;
(3)a的取值范围为
解:(1)∵函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取得极大值2.
∴,
又由f′(x)==,
由题意得 ,解得m=4,n=1,
经检验,当m=4,n=1时,函数f(x)在x=1处取得极小值2
∴函数f(x)的解析式为f(x)=;
(2)∵函数f(x)的定义域为R且由(1)有f′(x)=
令f′(x)=0,解得:x=±1
∴当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:
∴当x=-1时,函数f(x)有极小值-2;当x=1时,函数f(x)有极大值2;
(3)由(2)知函数f(x)的大致图象如图所示:
则f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-2,
在x=1处取得极大值f(1)=2
又∵x>0时,f(x)>0,
∴f(x)的最小值为-2,∴
∵若对于任意x2∈[-1,1],总存在x1∈R,使得g(x2)≤f(x1)
∴当x∈[-1,1]时,
当a≤-1时,,得a=-1,
当a≥1时,,得无解.
当-1 <a< 1时,,得-1 <a< 1.
综上所述.a的取值范围为.
∴,
又由f′(x)==,
由题意得 ,解得m=4,n=1,
经检验,当m=4,n=1时,函数f(x)在x=1处取得极小值2
∴函数f(x)的解析式为f(x)=;
(2)∵函数f(x)的定义域为R且由(1)有f′(x)=
令f′(x)=0,解得:x=±1
∴当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,-1) | -1 | (-1,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | 减 | 极小值-2 | 增 | 极大值2 | 减 |
(3)由(2)知函数f(x)的大致图象如图所示:
则f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-2,
在x=1处取得极大值f(1)=2
又∵x>0时,f(x)>0,
∴f(x)的最小值为-2,∴
∵若对于任意x2∈[-1,1],总存在x1∈R,使得g(x2)≤f(x1)
∴当x∈[-1,1]时,
当a≤-1时,,得a=-1,
当a≥1时,,得无解.
当-1 <a< 1时,,得-1 <a< 1.
综上所述.a的取值范围为.
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