Question

将边长为的正方形和等腰直角三角形按图拼为新的几何图形,中,,连结,若,为中点

（Ⅰ)求与所成角的大小;
（Ⅱ)若为中点，证明：平面；
（Ⅲ)证明：平面平面

Answer 1

（Ⅰ) ；（Ⅱ)参考解析； （Ⅲ)参考解析.

试题分析：（Ⅰ) 通过已知条件说明直线AE,AD,AB两两垂直，从而建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标并写出相应的向量.异面直线所成角的问题是转化为两向量所成角的问题.通过计算向量所成角的余弦值的绝对值得到对应的异面直线所成角的余弦值，从而求出异面直线所成的角.（Ⅱ)线面所成的角本题较简单是通过直线平行于平面内的一条直线.直线与平面平行还有一种常用的方法就是，该直线与平面的一条法向量垂直，这种方法常用在平面内很难找出一条直线与已知直线平行.（Ⅲ)本小题的平面与平面垂直的判定方法是通过证明AM垂直于平面CBE.又因为直线AM在平面CAM内，所得到的两平面垂直.这类题型还有一种方法就是求出两平面的法向量，证明它们的数量积为零.本题较容易，当然本题不建立坐标系同样好做.立几知识尽量建立坐标系完成，另外线面的关系可以在解题中帮助我们思路及计算更加清晰.
试题解析：（Ⅰ)解：∵,,
∴,又


∴面
为等腰直角三角形且
∴
两两垂直
分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系如图：
则，

，
∴
∴
∴与所成角的大小为      4分
（Ⅱ) ∵，为中点
∴，而
∴

∴与共线，
面，面
∴平面       8分
Ⅲ)面
面
∴

∴
又为等腰直角三角形且为斜边中点
∴

∴面
又面
∴平面平面     12分