题目内容
【题目】给定整数(
),设集合
,记集合
.
(1)若,求集合
;
(2)若构成以
为首项,
(
)为公差的等差数列,求证:集合
中的元素个数为
;
(3)若构成以
为首项,
为公比的等比数列,求集合
中元素的个数及所有元素之和.
【答案】(1)(2)见解析(3)
【解析】
(1)由新定义和集合的列举法,可得所求集合;
(2)运用等差数列为递增数列,以及性质,即可得到所求个数;
(3)由等比数列的通项公式和性质,结合新定义计算可得所求结论.
(1)因为,
当时,
∴.
(2) 因为构成以
为首项,
(
)为公差的等差数列,所以有
(
),以及
(
).
此时,集合中的元素有以下大小关系:
.
因此,集合中含有
个元素.
(3)由题设,.
设集合,
.
①先证中的元素个数为
,即从集合
中任取两个元素,它们的和互不相同.
不妨设,于是
.
显然.
假设,可得
,即
.
因为,
,所以
,又
,于是
,等式
不成立.
因此,.
同理可证.
②再证.
不妨设,于是
.
显然,
.
假设,可得
,即
,
因为,所以
,又
,于是
,等式
不成立.
因此,.
由①②,得,且
.
此时,集合中的元素个数为
.
集合中所有元素的和为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】目前,新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐,为了解新冠肺炎传播途径,采取有效防控措施,某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息,数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期低于平均数的患者,称为“短潜伏者”,潜伏期不低于平均数的患者,称为“长潜伏者”.
(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数;
(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样,从上述500名患者中抽取300人,得到如下列联表,请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关;
短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 | |
60岁及以上 | 90 | ||
60岁以下 | 140 | ||
合计 | 300 |
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气数值的影响,进而唤醒全市人民的环保节能意识.对该市取暖季烧煤天数
与空气
数值不合格的天数
进行统计分析,得出表数据:
| |||||
|
(1)以统计数据为依据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)根据(1)求出的线性回归方程,预测该市烧煤取暖的天数为时空气
数值不合格的天数.
参考公式:,
.