题目内容
【题目】已知函数,有以下命题:
①是奇函数;
②单调递增函数;
③方程仅有1个实数根;
④如果对任意有
,则
的最大值为2.
则上述命题正确的有_____________.(写出所有正确命题的编号)
【答案】①②④
【解析】
根据题意,依次分析4个命题,对于①、由奇函数的定义分析可得①正确;对于②、对函数求导,分析可得
,分析可得②正确;对于③、
,分析可得
,即方程
有一根
,进而利用二分法分析可得
有一根在
之间,即方程
至少有2跟,故③错误,对于④、由函数的恒成立问题的分析方法,分析可得④正确,综合可得答案.
解:根据题意,依次分析4个命题:
对于①、,定义域是
,且
,
是奇函数;故①正确;
对于②、若,则
,故
在
递增;故②正确;
对于③、,令
,
令可得,
,即方程
有一根
,
,
,
则方程有一根在
之间,
故③错误;
对于④、如果对任意,都有
,即
恒成立,
令,且
,
若恒成立,则必有
恒成立,
若,即
恒成立,
而,若有
,
故④正确;
综合可得:①②④正确;
故答案为:①②④.
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