题目内容
【题目】已知函数
(1)求的单调区间;
(2)若
(i)证明恰有两个零点;
(ii)设为
的极值点,
为
的零点,且
证明:
.
【答案】(1)在
和
上单调递增;(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析.
【解析】
(1)对函数求导,利用导数研究单调性即可;
(2)(i)对求导研究其单调性,可得
在
上单调递减,在
上单调递增,其中
,再证明
,而
,
,故利用零点存在性定理即可证明
恰有两个零点;
(ii)由(i)可知,且
故结合
即可求出
,从而得到
,再利用不等式
(
),即可放缩等式,得出结论.
(1)
,
因此,在
和
上单调递增;
(2)(i),
对求导得,
,
当时,
,则
;
当时,令
则在
上单调递增,
而,
故存在,使
,即
,
且在上
,在
上
,
因此,在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,
又,则
,
而,
,(注:取值不唯一)
恰有两个零点;
(ii)为
的极值点,
为
的零点,且
,
故由(i)可知,并且有
,
则,
因此,即
,
而当时,
,
下面证明此结论:
令,求导得
,
则在上时,
;在
上时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
因此,
所以,当时,
那么对于有
,
可得,而
,
即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目