题目内容
【题目】如图,已知三棱柱中,平面
平面
,
,
.
(1)证明:;
(2)设,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)连结.由菱形得对角线垂直,再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直
平面
,
平面
,从而
,于是证得线面垂直后再得线线垂直;
(2)取的中点为
,连结
,证得
与
都垂直后,以
为原点,
为正方向建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出平面的法向量,则法向量夹角得二面角,注意要判断二面角是锐角还是钝角.
(1)连结.
∵,四边形
为菱形,∴
.
∵平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,
∴平面
.
又∵,∴
平面
,∴
.
∵,
∴平面
,而
平面
,
∴
(2)取的中点为
,连结
.
∵,四边形
为菱形,
,∴
,
.
又由(1)知,以
为原点,
为正方向建立空间直角坐标系,如图.
设,
,
,
,
∴(0,0,0),
(1,0,
),
(2,0,0),
(0,1,0),
(-1,1,
).
由(1)知,平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
,则
,∴
.
∵,
,∴
.
令,得
,即
.
∴,
∴二面角的余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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