Question

【题目】已知函数f（x）＝ex﹣ax

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若存在x1＜x2，且满足f（x1）＝（x2）.证明；

（3）证明：（n∈N）．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求出，对分类讨论，求出的解，即可得出结论；

（2）由（1）可得a＞0，且x1＜lna＜x2，问题转化为证明，等价于证明，即证，即证f（x2）＞f（2lna﹣x2），

构造函数h（x）＝f（x）﹣f（2lna﹣x），x∈（lna，+∞），即可证明结论；

（3）对比证明不等式与的解析式关系，令，令，将不等式左式放缩为等比数列的和，即可证明结论.

（1）f′（x）＝ex﹣a，

当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上递增，

当a＞0时，x＞lna时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上递增，

x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lna）上递减；

（2）由（1）知，a＞0，且x1＜lna＜x2，

记h（x）＝f（x）﹣f（2lna﹣x），x∈（lna，+∞），

则h′（x）2+（a﹣1）2﹣1＞0，

所以h（x）在（lna，+∞）上递增，则h（x）＞h（lna）＝0，

所以f（x）＞f（2lna﹣x），则f（x2）＞f（2lna﹣x2），

因为f（x2）＝f（x1），f（x1）＞f（2lna﹣x2），

，

，所以；

（3）由（1）可知a＝e时，f（x）≥f（lne）＝0，

所以ex≥ex，所以ex﹣1≥x，当且仅当x＝1时取等号，

令x＝2n（n∈N），，当n＝0时取等号，

则（n∈N）．