Question

【题目】已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F为CD的中点．

（1）求证：面BCE⊥面DCE；

（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）取线段CE的中点，连接OB，OD，连接BD，可通过勾股定理逆定理证明，再由（等腰三角形性质）得线面垂直，从而有面面垂直；

（2）以O为原点，OE、OD、OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用向量的夹角的余弦值求解二面角余弦值．

（1）设点O为线段CE的中点，连接OB，OD，连接BD，

∵△ACD为等边三角形，

∴AD＝AC＝CD＝2，

∴CD＝DE＝2，

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE且AB⊥AC，CD⊥DE，AB⊥AD，

∴CE，BC，BD，BE，

∴△CDE为等腰直角三角形，△BCE为等腰三角形，

∴OD，OB，OD⊥CE，

∴OD⊥OB，

又OB∩CE＝O，OB、CE平面BCE，

∴OD⊥平面BCE，

又OD平面DCE，

∴平面BCE⊥平面DCE；

（2）由（1）可得，以O为原点，OE、OD、OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则E（，0，0），C（，0，0），B（0，0，），D（0，，0），

由F为CD的中点得F（，，0），

∴，，，

∴平面BEC的一个法向量，平面BEF的一个法向量，

∴，

由图可知，二面角C﹣BE﹣F的平面角为锐角，

∴二面角C﹣BE﹣F的余弦值为．