Question

14．设x∈（0，π），则函数f（x）=sinx+$\frac{4}{sinx}$的最小值是（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 先求导函数，然后根据x∈（0，π）可判定导数符号，从而得到函数在区间（0，π）上的单调性，从而可求出该函数的最值．

解答 解：∵函数f（x）=sinx+$\frac{4}{sinx}$，
∴f′（x）=cosx-$\frac{4cosx}{{sin}^{2}x}$=$\frac{cosx（{sin}^{2}x-4）}{{sin}^{2}x}$，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）＜0，
∴f（x）=sinx+$\frac{4}{sinx}$在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减，（$\frac{π}{2}，π$）时函数是单调递增，
∴当x=$\frac{π}{2}$时，函数y取得最小值为sin$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{sin\frac{π}{2}}$=1+4=5，
∴函数f（x）=sinx+$\frac{4}{sinx}$的最小值为5．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值最值，如果利用基本不等式进行求解无法取得最小值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．