题目内容

14.设x∈(0,π),则函数f(x)=sinx+$\frac{4}{sinx}$的最小值是(  )
A.6B.5C.4D.3

分析 先求导函数,然后根据x∈(0,π)可判定导数符号,从而得到函数在区间(0,π)上的单调性,从而可求出该函数的最值.

解答 解:∵函数f(x)=sinx+$\frac{4}{sinx}$,
∴f′(x)=cosx-$\frac{4cosx}{{sin}^{2}x}$=$\frac{cosx({sin}^{2}x-4)}{{sin}^{2}x}$,
当x∈(0,$\frac{π}{2}$)时,f′(x)<0,
∴f(x)=sinx+$\frac{4}{sinx}$在(0,$\frac{π}{2}$)上单调递减,($\frac{π}{2},π$)时函数是单调递增,
∴当x=$\frac{π}{2}$时,函数y取得最小值为sin$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{sin\frac{π}{2}}$=1+4=5,
∴函数f(x)=sinx+$\frac{4}{sinx}$的最小值为5.
故选:B.

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值最值,如果利用基本不等式进行求解无法取得最小值,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.

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