题目内容

(14分)在四棱锥PABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCDEPD的中点,PA=2AB=2.
(Ⅰ)求四棱锥PABCD的体积V
(Ⅱ)若FPC的中点,求证PC⊥平面AEF
(Ⅲ)求证CE∥平面PAB
(Ⅰ)V
(Ⅱ)略
(Ⅲ)略
解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,


BAC=60°,∴BCAC=2.
在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,
CD=2AD=4.
SABCD
.……………… 3分
V.    ……………… 5分
(Ⅱ)∵PACAFPC的中点,
AFPC.           ……………… 7分
PA⊥平面ABCD,∴PACD
ACCDPAACA
CD⊥平面PAC.∴CDPC
EPD中点,FPC中点,
EFCD.则EFPC.      ……… 9分
AFEFF,∴PC⊥平面AEF.…… 10分
(Ⅲ)证法一:
AD中点M,连EMCM.则EMPA
EM 平面PABPA平面PAB
EM∥平面PAB.  ……… 12分
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,ACAM=2,
∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MCAB
MC 平面PABAB平面PAB
MC∥平面PAB. ……… 14分
EMMCM
∴平面EMC∥平面PAB
EC平面EMC
EC∥平面PAB.  ……… 15分
证法二:
延长DCAB,设它们交于点N,连PN
∵∠NAC=∠DAC=60°,ACCD
CND的中点.        ……12分
EPD中点,∴ECPN.……14分
EC 平面PABPN 平面PAB
EC∥平面PAB.  ……… 15分
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