题目内容
(14分)在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积V;
(Ⅱ)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;
(Ⅲ)求证CE∥平面PAB.
(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积V;
(Ⅱ)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;
(Ⅲ)求证CE∥平面PAB.
(Ⅰ)V=.
(Ⅱ)略
(Ⅲ)略
(Ⅱ)略
(Ⅲ)略
解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,
∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.
在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,
∴CD=2,AD=4.
∴SABCD=
.……………… 3分
则V=. ……………… 5分
(Ⅱ)∵PA=CA,F为PC的中点,
∴AF⊥PC. ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.
∵E为PD中点,F为PC中点,
∴EF∥CD.则EF⊥PC. ……… 9分
∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 10分
(Ⅲ)证法一:
取AD中点M,连EM,CM.则EM∥PA.
∵EM 平面PAB,PA平面PAB,
∴EM∥平面PAB. ……… 12分
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,
∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB.
∵MC 平面PAB,AB平面PAB,
∴MC∥平面PAB. ……… 14分
∵EM∩MC=M,
∴平面EMC∥平面PAB.
∵EC平面EMC,
∴EC∥平面PAB. ……… 15分
证法二:
延长DC、AB,设它们交于点N,连PN.
∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,
∴C为ND的中点. ……12分
∵E为PD中点,∴EC∥PN.……14分
∵EC 平面PAB,PN 平面PAB,
∴EC∥平面PAB. ……… 15分
∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.
在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,
∴CD=2,AD=4.
∴SABCD=
.……………… 3分
则V=. ……………… 5分
(Ⅱ)∵PA=CA,F为PC的中点,
∴AF⊥PC. ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.
∵E为PD中点,F为PC中点,
∴EF∥CD.则EF⊥PC. ……… 9分
∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 10分
(Ⅲ)证法一:
取AD中点M,连EM,CM.则EM∥PA.
∵EM 平面PAB,PA平面PAB,
∴EM∥平面PAB. ……… 12分
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,
∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB.
∵MC 平面PAB,AB平面PAB,
∴MC∥平面PAB. ……… 14分
∵EM∩MC=M,
∴平面EMC∥平面PAB.
∵EC平面EMC,
∴EC∥平面PAB. ……… 15分
证法二:
延长DC、AB,设它们交于点N,连PN.
∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,
∴C为ND的中点. ……12分
∵E为PD中点,∴EC∥PN.……14分
∵EC 平面PAB,PN 平面PAB,
∴EC∥平面PAB. ……… 15分
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