题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,
,侧面
为正三角形,侧面
底面
,
、
分别为棱
、
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】分析:(Ⅰ)取的中点
,连接
、
,可得
,
,从而得平面
平面
,因为
平面
,所以
平面
;(Ⅱ)由等腰三角形的性质
,
,因为
,所以
,由线面垂直的判定定理可得
平面
.
由面面垂直的判定定理可得结论;(Ⅲ)设与
的交点为
,过点
作
平面
.如图,以
为坐标原点,建立空间直角坐标系
,设
,
,所以
,由
,从而可得结果.
详解:(Ⅰ)法1:取的中点
,连接
、
.则
,
.
又因为、
平面
,
,
、
平面
,
,
所以,平面平面
,
因为平面
,
所以平面
.
法2:取的中点
,连接
、
,
因为,
,
所以,
所以四边形为平行四边形,
所以.
又因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)法1:
因为,
为棱
的中点,
所以,
因为,
为棱
的中点,
所以,
由(Ⅰ)法2知,,
所以,
又因为,
、
平面
,
所以平面
.
又因为平面
,
所以,平面平面
.
法2:
设与
的交点为
,过点
作
平面
.如图,以
为坐标原点,建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,
所以,
令,则
,
,所以
;
设平面的法向量为
,则
,
所以,
令,则
,
,所以
;
因为,
所以平面平面
.
法3:
由法1知,
由法2知,所以
,
,
所以,
又平面
,
,
所以平面
,
又平面
,
所以平面平面
.
(Ⅲ)在棱上存在一点
,使得
平面
,
.
理由如下:
假设存在这样的点,设
,
,
所以
.
由,
解得.
当时,
,又
,
,
所以平面
.
所以在棱上存在一点
,使得
平面
,
.
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