题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,点
,点
在
轴上,点
在
轴非负半轴上,点
满足:
(1)当点在
轴上移动时,求动点
的轨迹C的方程;
(2)设为曲线C上一点,直线
过点
且与曲线C在点
处的切线垂直,
与C的另一个交点为
,若以线段
为直径的圆经过原点,求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
试题分析:(1)由点在
轴上,点
在
轴非负半轴上且为动点,可设出设A(a,0),B(0,b),M(x,y),由关系
,将向量坐标代入可得动点
的轨迹C的方程.
(2)设Q(m,2m2), 直线过点
且与曲线C在点
处的切线垂直,可求出直线l的方程为y﹣2m2=
(x﹣m),设
,联立
与C的方程,并由韦达定理可得
,
, (2m2)yR,2m2
yR,又由线段
为直径的圆经过原点,所以
,即mxR+(2m2)yR=0,整理后可求出直线
的方程.
试题解析:
解:(Ⅰ)设A(a,0),M(x,y),B(0,b),则=(x﹣a,y),
=(﹣a,b),
=(a,1)
∵=2
,∴有(x﹣a,y)=2(﹣a,b),即有x﹣a=﹣2a,y=2b,即x=﹣a,y=2b
∵,∴有a(x﹣a)+y=0
∴﹣x(x+x)+y=0,∴﹣2x2+y=0
即C的方程是y=2x2;
(Ⅱ)设Q(m,2m2),直线l的斜率为k,则y′=4x,∴k=
∴直线l的方程为y﹣2m2=(x﹣m)
与y=2x2联立,消去y可得2x2+x﹣2m2﹣
=0,该方程必有两根m与xR,且mxR=﹣m2﹣
∴(2m2)yR=4(﹣m2﹣)2
∵,∴mxR+(2m2)yR=0,∴﹣m2﹣
+4(﹣m2﹣
)2=0,∴m=±
∴直线l的方程为.
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