题目内容
8.在△ABC中,角$C=\frac{π}{3}$,边AB=1,则△ABC周长的取值范围是( )A. | (2,3] | B. | [1,3] | C. | (0,2] | D. | (2,5] |
分析 由正弦定理可得a=2sinA,b=2sinB,再由两角和差的正弦公式,结合正弦函数的性质,计算即可得到所求范围.
解答 解:由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{sin\frac{π}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
即有a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA,b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB,
则△ABC周长=a+b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$(sinA+sinB)+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin($\frac{2π}{3}$-A)]+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$($\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA)+1
=2sin(A+$\frac{π}{6}$)+1,
由0<A<$\frac{2π}{3}$,可得:$\frac{π}{6}$<A+$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{6}$,解得:$\frac{1}{2}<$sin(A+$\frac{π}{6}$)≤1
解得:2sin(A+$\frac{π}{6}$)+1∈(2,3].
故选:A.
点评 本题考查正弦定理的运用,两角和差的正弦、余弦公式和余弦函数的性质的运用,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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