Question

【题目】已知函数f（x）＝ax2+2ax﹣lnx﹣1，a∈R．

（1）当a时，求f（x）的单调区间及极值；

（2）若a为整数，且不等式f（x）≥x对任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），极小值为，无极大值；（2）1

【解析】

（1）对函数求导，根据导数的符号求单调区间与极值；

（2）先由，再构造函数，求导研究其单调性及最小值，由其最小值非负求得的最小值．

解：（1）当时，，，，令，解得或1．易知当时，；当时，．故的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；

（2）不等式对任意恒成立，当时，有，解得，为整数，

．令，，

，

令，易知在上单调递减，在，上单调递增，

．

不等式对任意恒成立，，即．令，，

则单调递增，且，

故．所以的最小值为1．