Question

8．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$，记z=4x+y的最大值为a，则${∫}_{0}^{\frac{π}{a}}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）²dx=$\frac{π}{3}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求a，然后求解定积分．

解答 解：设z=4x+y，则只需求直线z=4x+y在y轴上的截距的最大值．
x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$的可行域如图：
当直线与经过A时，截距最大，由$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x+y=1\end{array}\right.$，可得A（1，-1），解得a=3，
${∫}_{0}^{\frac{π}{a}}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）²dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{3}}$（1-sinx）dx=（x+cosx）${|}_{0}^{\frac{π}{3}}$
=$\frac{π}{3}-\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{3}-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．