题目内容
16．为了保护环境，某化工厂政府部门的支持下，进行技术改进：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．该工厂日处理废气的能力不低于40吨但不超过70吨．经测算，该工厂处理废气的成本y（元）与处理废气量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=2x2-120x+5000，且每处理1吨工业废气可得价值为60元的某种化工产品．（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在每天生产中都不出现亏损现象，国家财政部门补贴至少每天多少元？
（2）若国家给予企业处理废气每吨70元财政补贴，当工厂处理量为多少吨时，工厂处理每吨废气平均收益最大？
分析 （1）利用每处理1吨工业废气可得价值为60元的某种化工产品，及函数关系式，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；
（2）求出工厂处理每顿废气的平均收益的函数表达式，求出函数的最值，即可求得结论．
解答 解：（1）当x∈[40，70]时，设该工厂获利为S，则S=60x-（2x2-120x+5000）=-2（x-45）2-950
∴x∈[40，70]时，Smax=-950＜0，因此，该工厂不会获利，
当x=70时，Smin=-2200，
∴国家至少每天财政补贴2200元，保证工厂在生产中没有亏损现象出现，
（2）由题意，工厂处理每顿废气的平均收益为P（x）=60+70-$\frac{2{x}^{2}-120x+5000}{x}$=-2x-$\frac{5000}{x}$+250=-2（x+$\frac{2500}{x}$）+250，x∈[40，70]
∵x+$\frac{2500}{x}$≥100，当且仅当x=50时，取得最小值为100，
∴x=50时，P（x）取得最大值，最大值为P（50）=50，
故当工厂的日处理量为50吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大．
点评 本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题
练习册系列答案
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表中：${w_i}=\sqrt{x_i}$ $\overline{w}$=$\sum_{i=1}^{8}$wi
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值
| $\overline{x}$ | $\overline{y}$ | $\overline{w}$ | $\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2 | $\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2 | $\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$） | $\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$） |
| 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值
