Question

6．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AC⊥BA₁；
（Ⅱ）若M为A₁C₁的中点，问棱AB上是否存在点N，使得MN∥平面BCC₁B₁？若存在，求出$\frac{A{N}_{1}}{NB}$的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 解法一：（Ⅰ）由AA₁⊥平面ABC，可证AA₁⊥AC，又AB⊥AC，可证AC⊥平面ABB₁A₁．从而得证AC⊥A₁B．
（Ⅱ）取AC得中点E，连接MN，ME，NE，可证ME∥CC₁．从而可得ME∥平面BCC₁B₁．又可证NE∥BC，NE∥平面BCC₁B₁．即可证明平面MNE∥平面BCC₁B₁．从而可证MN∥平面BCC₁B₁．
解法二：（Ⅰ）由题意易证平面ABB₁A₁⊥平面ABC，且平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB．从而AC⊥AB，可证AC⊥平面ABB₁A₁．即可证明AC⊥A₁B．
（Ⅱ）取BC得中点F，连接MN，NF，C₁F．可得NF∥AC，NF=$\frac{1}{2}$AC．由MC₁∥AC，MC₁=$\frac{1}{2}$AC，可证四边形MNFC₁为平行四边形．即可证明MN∥C₁F．从而判定MN∥平面C₁F．

解答 （本题满分12分）
解：解法一：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AA₁⊥AC．（2分）
∵AB⊥AC，AB∩AA₁=A，
∴AC⊥平面ABB₁A₁．（4分）
又∵A₁B?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥A₁B．（5分）
（Ⅱ）存在点N为AB的中点，即$\frac{AN}{NB}=1$，使得MN∥平面BCC₁B₁．（6分）
证明：取AC得中点E，连接MN，ME，NE
∵四边形ACC₁A₁是平行四边形，
且M，E分别为A₁C₁、AC的中点，
∴四边形ECC₁M是平行四边形
∴ME∥CC₁．（7分）
∵ME?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴ME∥平面BCC₁B₁．（8分）
∵N，E分别为AB、AC的中点，
∴NE∥BC．（9分）
∵NE?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，
∴NE∥平面BCC₁B₁．（10分）
∵ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面BCC₁B₁．（11分）
（注：直接由两组相交线平行得面面平行，扣2分）
∵MN?平面MNE，
∴MN∥平面BCC₁B₁．（12分）
解法二：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面ABB₁A₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC，且平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB．（2分）
∵AC⊥AB，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁．（4分）
又∵A₁B?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥A₁B．（5分）
（Ⅱ）存在点N为AB的中点，即$\frac{AN}{NB}=1$，使得MN∥平面BCC₁B₁．（6分）
证明：取BC得中点F，连接MN，NF，C₁F．
∵N，F分别为AB、BC的中点，
∴NF∥AC，NF=$\frac{1}{2}$AC．（7分）
∵MC₁∥AC，MC₁=$\frac{1}{2}$AC，
∴MC₁∥NF，MC₁=NF．（8分）
∴四边形MNFC₁为平行四边形．（10分）
∴MN∥C₁F．（11分）
∵MN?平面BCC₁B₁，C₁F?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面C₁F．（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．