题目内容

17.在极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cosθ,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+3}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$(t为参数).
(1)写出圆C的直角坐标方程以及直线l的普通方程;
(2)求直线l被圆C所截得的弦长.

分析 (1)利用极坐标公式,把圆C的极坐标方程化为普通方程,
消去参数,把直线l的参数方程化为普通方程即可;
(1)求出圆C的圆心与半径以及圆心到直线l的距离d,
利用勾股定理求出l被圆C所截得的弦长.

解答 解:(1)∵圆C的方程为ρ2=4ρcosθ,…(1分)
∴化为普通方程是x2+y2=4x,…(2分)
即圆C的直角坐标方程为:(x-2)2+y2=4;…(3分)
对于直线l,将t=$\frac{x-3}{3}$…(4分)
代入第二个方程可得y=$\frac{4}{3}$x-1,
即直线l的普通方程为:4x-3y-3=0;…(5分)
(2)由(1)得圆C的圆心C(2,0),半径r=2,…(6分)
点C到直线l的距离d=$\frac{|4×2-3×0-3|}{\sqrt{{4}^{2}{+(-3)}^{2}}}$=$\frac{5}{5}$=1,…(8分)
∴直线l被圆C所截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$…(9分)
=2$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$.…(10分)

点评 本题考查了直线与圆的应用问题,也考查了参数方程与极坐标的应用问题,是综合性题目.

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