Question

11．等边三角形ABC的顶点A，B在圆O：x²+y²=1上，则|OC|的最大值为2．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，利用圆与等边三角形的对称性得出|OC|取最大值时，OC过AB的中点M，
设|AB|=x，表示出|OC|的大小，借助于导数求出|OC|的最大值．

解答 解：等边三角形ABC的顶点A，B在圆O：x²+y²=1上，如图所示；
⊥
根据圆与等边三角形的对称性知，
当|OC|取最大值时，OC过AB的中点M，
设|AB|=x，则|CM|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
|OM|=$\sqrt{{1}^{2}{-（\frac{x}{2}）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{-x}^{2}}$，
∴|OC|=|OM|+|CM|
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{-x}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{4{-x}^{2}}$+$\sqrt{3}$x），0＜x≤2；
设y=$\sqrt{4{-x}^{2}}$+$\sqrt{3}$x，（0＜x≤2），
∴y′=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{4{-x}^{2}}}$•（-2x）+$\sqrt{3}$=$\frac{-x+\sqrt{3}•\sqrt{4{-x}^{2}}}{\sqrt{4{-x}^{2}}}$，
令y′=0，得-x+$\sqrt{3}$•$\sqrt{4{-x}^{2}}$=0，
解得x=±$\sqrt{3}$，应取x=$\sqrt{3}$；
当x∈（0，$\sqrt{3}$）时，y′＞0，y是增函数，
当x∈（$\sqrt{3}$，2]时，y′＜0，y是减函数，
∴当x=$\sqrt{3}$时，y取得最大值为
y_max=$\sqrt{4{-（\sqrt{3}）}^{2}}$+$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=4，
∴|OC|的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，考查了利用导数求函数最值的应用问题，是综合性题目．